Réflexions

Ce sont des curiosités mathématiques : objets récursifs de dimension fractionnaire d'où leur nom.

Ils ont été "découverts" par le mathématicien français Benoît Mandelbrot.

L'idée générale pour construire un tel objet est la suivante :

on commence par créer un motif de base qui sera ensuite répété à l'infini avec un rapport homothétique constant. La dimension de l'objet obtenu est fractionnaire.

Exemple :

L'objet obtenu en final est le suivant :

 

Motif de base : 

Le motif de base est répété sur chaque segment  d'un facteur d'échelle 1/3 (on dit d'un rapport homothétique de 3), et on poursuit l'itération à l'infini. Le premier segment est toujours un segment "droit" de longueur de référence.

:

Dans ce cas, la figure géométrique obtenue au bout de n itérations (n->infini) n'est ni une droite (dimension =1), ni un plan (dimension=2) mais un objet intermédiaire de dimension fractionnaire, comprise ici entre 1 et 2.

Pour calculer la dimension on applique la formule suivante :

n = s^d

où n représente le nombre de morceaux pour passer d'une étape à une autre, s le rapport d'homothétie et d la dimension que l'on veut calculer.

En remettant la formule dans le bon ordre, on arrive à 

d = Log(n)/Log(s)

On prend le log que l'on veut puisque c'est un rapport. Dans notre exemple, le nombre de morceaux est de 4 (4 segments), pour passer de l'étape 1 à l'étape 2, etc.... Le rapport d'homothétie est de 3 (chaque motif est 3 fois plus petit que le précédent). Enfin la dimension est donc d = log4/log3 = 1.2618595....

Une caractéristique très importante de ces objets est l'homothétie interne qui fait que quelque soit le zoom que l'on fasse, on retrouve toujours le motif de base.

A quoi cela peut-il servir?

A compresser des images selon une méthode itérative qui permettra de conserver une qualité égale quelle que soit le niveau de zoom appliqué à l'image.

A créer des objets naturels complexes tels que les nuages, les montagnes, les végétaux, l'eau, la neige, et qui seraient très difficiles à synthétiser autrement. Dans ce cas, le rapport homothétique n'est pas constant mais peut être aléatoire (nature).

A faire des mesures de distance, etc...

A faire des oeuvres d'art dont Vasarely aurait pu être le génial auteur.

Voici quelques exemples :

Allez découvrir ces images époustouflantes  de beauté et d'étrange sur le site

http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/gallery.htm

Vous pourrez aussi y télécharger un logiciel de création de fractals "Fractal Explorer" en rubrique download. Vous verrez en utilisant ce logiciel, apparaître des formules mathématiques compliquées : ce sont les définitions des "courbes" produites qui sont en réalité calculées point par point selon des formules mathématiques de type complexe. Exemple : f(z) = z² - c où z est un complexe z = x+i.y
Voici un exemple de programme écrit en Turbopascal des années 90.

Internet regorge de sites consacrés au sujet (faire une recherche sur Google pour s'en convaincre), et mon but n'est ici que de faire une petite introduction.

 Propos recueillis lors d'une émission télévisée consacrée au chaos diffusée sur Arte.